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INTRODUCTION

Les nombres naturels sont des nombres entiers (les nombres entiers naturels) et donc, qui ne sont pas des nombres décimaux, ils ne peuvent pas être négatifs ou être des fractions, ils font partie de notre quotidien.

Quand nous achetons des légumes ou des fruits, nous n'achetons pas la moitié ou les trois quarts d'un citron mais bien un citron au complet. Un nombre naturel est de 0 à l'infini.

On inscrit l'ensemble des nombres entiers naturels ainsi:

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={0, 1, 2, 3, ...}.


La petite histoire des nombres entiers naturelsEdit

Contextes d'utilisationEdit

Les nombres naturels servent entre autres au dénombrement. Nous les utilisons donc quand on veut déterminer le nombre d'éléments dans un ensemble. Par exemple, j’ai combien de moutons dans ma bergerie, combien de billes dans mon sacs, combien d’individus dans ma famille, etc.


On utilise également souvent les naturels pour déterminer le temps (bien qu’on peut aussi le faire avec des nombres décimaux). Par exemple, on indiquera qu’on a fait du jogging pendant 44 minutes et 16 secondes, ou que le film a duré 1 heure et 23 minutes. Les entiers sont également présent sur notre calendrier pour indiquer les dates.



MétiersEdit

Un pharmacien doit dénombrer le nombre de pilules qu’il met dans un pot pour un client.


Droite numériqueEdit

Une droite numérique est une ligne droite qui est graduée de nombres à intervalles réguliers. À une extrémité, une flèche signifie que les nombres deviennent de plus en plus gros. La droite numérique des nombres naturels débute à 0 et se poursuit à l’infini.


Les droites numériques sont utilisées dans les plans cartésiens.


Ex :

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Plus le nombre est à droite, plus il est grand. On utilise les symboles < (plus petit que), > (plus grand que) et = (égal) pour comparer les nombres.


Ex.: 72 > 34

Ex.: 23 < 54

Ex.: 45 = 45



Les opérations mathématiques sur les nombres naturelsEdit

Sens des opérations


Voici les quatre sortes d’opérations possibles en mathématique :

L’addition : Une addition est le processus par lequel on rassemble deux quantités sous la forme de nombres (ex : 48+5=53). Le résultat de cette opération s’appelle la somme. Quand on fait la somme d’un nombre et de zéro, le nombre obtenu est pareil à celui d’origine (ex : 100+0=100).

La soustraction : La soustraction est une opération mathématique qui sert à enlever un nombre d’un autre nombre (ex : 14000-12000=2000). Le résultat de cette opération s’appelle la différence. Si on essaie de soustraire zéro d’un nombre, le nombre qu’on obtient est égal au nombre d’origine (ex : 100-0=100).

La division : La division, c’est quand on veut séparer un tout en 2 parties ou plus (ex : 12/2=6). Le résultat de cette opération s’appelle le quotient. Quand on divise des nombres naturels, le nombre que l’on divise est forcément plus petit après l’opération (ex : 6/2=3). Qu’importe le nombre, on ne peut pas le diviser par zéro. Si on décide de diviser un nombre par un chiffre inférieur à 1, le nombre obtenu va être plus grand que le nombre d’origine (ex : 100/0,5=200). Le dividende est le nombre qui se fait diviser et le diviseur est le nombre qui sépare le tout en plusieurs parties.

La multiplication : La multiplication, c’est quand on veut prendre un tout et avoir cette quantité plusieurs fois (ex : 2x2=4). Le résultat de cette opération s’appelle le produit. Quand on multiplie des nombres naturels, le nombre que l’on obtient est plus grand que le nombre d’origine (ex : 100x2=200), à part si on multiplie par zéro (ex : 100x0=0) ou si on multiplie par un nombre inférieur à un (ex : 100x0,5=50).

Représentation des opérations avec des jetons et la droite numérique


L'addition: nous nous servons des additions pour calculer lorsque l’on ajoute une quantité à une autre quantité.

Ex: 1 jeton + 2 jetons = 3 jetons

Additions et soustractions

La so



ustraction: Nous nous servons des soustractions pour calculer lorsque nous enlevons une quantité à une autre quantité.

Ex.: 2 jetons- 1 jeton = 1 jeton

Ajoutée par Louis Allard


La Multiplication: Nous nous servons des multiplications pour calculer rapidement des quantités de la même valeur répétées plusieurs fois.

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O= 1 jeton

Ex.: 10 jetons x 3 = 30

jetons





Ajoutée par Louis Allard



La Division: On se sert de cette opération pour répartir également une quantité en différentes parties.

Ex.: 30 jetons/ 3 parties= 10 jetons

Divisions


Ajoutée par Louis Allard





Les algorithmes

Addition : Quand on fait une addition, il faut aligner les unités, les dizaines, les centaines et ainsi de suite. Ensuite on additionne les unités et si, par exemple j’additionne 9+3= 12, j'obtiens une dizaine et 2 unités. Je vais mettre les 2 unités à la position des unités et ajouter une dizaine aux dizaines de mon addition. Je continue de la même façon pour les dizaines, les centaines et ainsi de suite. Quand j’ai fini mon opération, cela me donne ma réponse d’une addition.

1

19

+ 3

------

22


Soustraction : Quand on fait une soustraction, il faut aligner les unités, les dizaines, les centaines et

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ainsi de suite. Ensuite, on soustrait les unités. Par exemple, que je soustrais 9-1= 8, cela va me donner 8 à la position correspondante dans la réponse. Toutefois, dans l’exemple qui suit, 3-7 est impossible. On va donc emprunter une dizaine pour la soustraction à la position des unités deviennent 13 moins 7. On indique donc 6 à la position des unités. Mais comme j’ai pris une dizaine, il ne me reste plus 2 dizaines dans 123 mais bien une dizaine. Ainsi, je dois faire 1-3, ce qui est encore impossible. Je vais donc emprunter une centaine, ce qui va me permettre de faire 11-3 à la position des dizaines, pour une réponse 8 à la position des dizaines. Puisque j’ai emprunté une centaine, il ne m’en reste plus. La réponse est donc 86.



Multiplication: Par exemple, 123 x 34.

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Il va falloir que je commence par l’unité, ce qui veux dire le quatre et je vais le multip'lier avec chacun des chiffres qui compose le nombres 123. Je fais donc '4x3=12, on place le 2 à la position des unités puis on met la retenue aux dizaines. Après on fait 4x2=8 +1 parce que j’avais une retenue, ce qui me donne 9 que je place aux dizaines dans la réponse. Puis je fais 4x1=4, que je place en position des centaines. On répète le tout avec le 3 de 34, en prenant s'oin de placer la réponse à partir de la position des dizaines (si je place un 0 à la position des unités, ça donne 3690).On additionne ensuite ces deux résultats pour obtenir ma réponse finale soit 492 + 3690 = 4182.


Division: Par exemple: 364 ÷ 13 ( 364 est le dividende et 13 le diviseur).

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Comme le diviseur est treize, on prend les 2 premiers chiffres de 364, donc 36. On vérifie combien de fois 13 rentre dans 36, dans ce cas 2. Par la suite, on soustrait 26 (13 X 2) à 36, ce qui nous donne 10. On ajoute ensuite 4 à la suite de 10 pour nous donner 104. On vérifie alors combien de fois 13 entre dans 104 (8) et on le rajoute à la fin et on a notre réponse qui est 28.



Sujets particuliers aux nombres entiers naturelsEdit

Décomposition de nombreEdit

Décomposer un nombre veut dire le décortiquer ou le défaire en rapport avec la position que chacun de ses chiffres occupent. Par exemple, dans le nombre 3 789, le trois est à la position des unités de mille (3000), le 7 est à la position des centaines (700), le 8 est à la position des dizaines (80) et le 9 à la position des unités (9).
Exemple de décomposition = 3 000 + 700 + 80 + 9 = 3 789 ou on peut écrire 3x1000 + 7x100 + 8x10 + 9x1.
Une façon de savoir comment décomposer un nombre est de le dire ou l’écrire en lettres: trois-milles sept-cent-quatre-vingt-neuf. On voit donc que quand on prononce 3789 on entend exactement ce que j’ai écrit en lettre.
Dans d'autres contextes il peut y avoir des nombres plus élevés comme : 567 894, alors le 5 serait aux centaines de mille, le 6 aux dizaines de mille, le 7 aux unités de mille, le 8 aux centaines, le 9 aux dizaines et le 4 à l'unité.

Arbres de facteursEdit

 :: Un arbre de facteurs sert à trouver les facteurs premiers qui composent un nombre. Ensuite, on exprime la réponse sous forme d'égalité mathématique comprenant la plupart du temps des exposants. Exemple :
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3 X 2 X 2 X 5 = 3 X 22 X 5

Un exposant signifie que l’on multipli la base par elle-même, le nombre de fois que l’exposant indique.

Exemple : (2 exposant 3) est 23 = 2 X 2 X 2 = 8

Sources : Louis-Olivier St-Pierre, Philippe Bergeron et Philippe Maheux.

Critères de divisibilitéEdit

Critère de divisibilité de 2: Le nombre est divisible par 2 s’il est pair.

Exemple: 128 est divisible par 2 car il est pair.

Critère de divisibilité de 3: Si la somme de tous ses nombres est divisible par 3.

Exemple: 639 est divisible par 3 car 6+3+9=18 et 18 est divisible par 3 (18÷3=6).

Critère de divisibilité de 4: Les deux derniers chiffres du nombres sont divisibles par 4.

Exemple: 3764 est divisible par 4 car 64 est divisible par 4 (64÷4=16).

Critère de divisibilité de 5: Le nombre fini par 0 et 5.

Exemple: 435 est divisible par 5 car il a un 5 à la position des unités.

Critère de divisibilité de 6: Si le nombre se divise par 2 et par 3.

Exemple: 228 se divise par 6 car il se divise par 2 (228 est pair) et par 3 (2+2+8=12 et 12 est divisible par 3).

Critère de divisibilité de 8: Les trois derniers chiffres se divisent par 8.

Exemple: 6104 est divisible par 8 car 104 est divisible par 8 (104÷8=13).

Critère de divisibilité de 9: La somme des nombres est divisible par 9.

Exemple: 639 est divisible par 9 car 6+3+9=18 et 18 est divisible par 9 (18÷9=2).

Critère de divisibilité de 10: Le chiffre à la position des unités doit être 0.

Exemples: 20, 760, 12 080, ...



PGCD et PPCM

PGCD: le PGCD est le plus grand commun diviseur de deux nombres. Le PGCD est le plus grand nombre qui peut diviser deux autres nombres.

Par exemple: Trouver le PGCD de 24 et 32. D’abord il faut trouver les diviseurs de chacun.

24 : {1,2,3,4,6,8,12,24}

32 : {1,2,4,8,16,32}

Le plus grand diviseur commun est donc 8.

PPCM: le PPCM est le plus petit commun multiple de deux nombres (ou même plus). Pour trouver les multiples d’un nombre, il faut le multiplier par 1,2,3,4 etc.

Exemple: Trouver le PPCM 24 et 36.

Les multiples de 24 sont: 24, 48, 72, ...

Les multiples de 36 sont: 36, 72, 108...

Le plus petit commun multiple de 24 et 36 est donc 72.


ExercicesEdit

RéférencesEdit

Louis Allard

Adam St-Jean Lejeune

Xavier Chouinard

Olivier Simard

Léo Gauthier

Thomas Leclerc-Cossette

Audrey Dorval

Xavier-Philippe Légaré

Maxime Dufour

Marie-Hélène Roy

Carousel mathématique tome 1

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